LÓGICA INTENSIONAL

“El sentido del mundo se encuentra fuera de él” (Wittgenstein, Tractatus 6.41)

“Una palabra no es un signo, un sustituto de una cosa, sino el nombre de una idea” (Walter Benjamin)

“El sentido determina la referencia” (Frege)

“Del sentido decimos que determina la denotación o es un concepto de la denotación” (Alonzo Church)

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Conceptos Previos y Antecedentes
Fregue: sentido y referencia

Gottlob Frege −el considerado padre de la lógica moderna−, en su artículo de 1892 “Über Sinn and Bedeutung” intentó formalizar la semántica de las expresiones lingüísticas mediante los conceptos de “sentido” (sinn) y “referencia” (bedeutung), intentando separar la psicología (lo subjetivo) de la lógica (lo objetivo).

Sinn = sentido, forma de expresar el significado.
Bedeutung = referencia, denotación.

Ejemplos:

• “Los planetas del sistema solar” es una forma de referirse a Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno.
  
  
• “El número de planetas del sistema solar” es una forma de referirse al número 8.

Según Frege se cumplen las propiedades siguientes:

• Diferentes sentidos pueden hacer referencia a la misma cosa. Por ejemplo:
  
  
  • “La estrella matutina” y “La estrella vespertina” son dos formas de referirse al planeta Venus.
    
    
  • “Animal racional” y “humano” son dos formas de referirse al ser humano.
    
    
  • “Aristóteles” y “El discípulo más prominente de Platón” son dos formas de referirse a Aristóteles.
    
    
  • “Cervantes” y “El autor de El Quijote” hacen referencia a Cervantes.
    
    
  • Las expresiones 1+4 y 2+3 tienen diferente sentido y la misma referencia (5).
  
  
• El sentido determina la referencia. Dos expresiones que tienen el mismo sentido deben de tener la misma referencia.
  
  
• Las expresiones tienen sentido solo en virtud de que tienen referencia. Sin referencia no hay sentido.

Según el principio de composicionalidad de Frege, el significado de una sentencia es una función del significado de sus componentes y de sus modos de combinación (por las reglas gramaticales del lenguaje). Dicho de otra forma, el significado de una sentencia está completamente determinado por la estructura y el significado de sus componentes.

Este principio opera en expresiones aritméticas. Por ejemplo, para calcular (a+b)×(c+d) debemos calcular primero a+b, luego c+d, y por último el producto de ambos.

El principio de composicionalidad explica por qué entendemos expresiones que nunca hemos oído: porque conocemos el significado de sus componentes y porque conocemos sus formas combinatorias gracias a que hay una gramática universal que se manifiesta en las lenguas particulares. El principio de composicionalidad proporciona un fundamento importante en toda teoría del significado.

Frege distinguía tres tipos de expresiones: nombres, predicados y sentencias:

• Nombres.
  Un nombre designa un objeto. Su sentido es el nombre y su referencia es el objeto designado por el nombre. Por ejemplo, “Aristóteles” designa o hace referencia a Aristóteles.
  
  
• Predicados.
  Frege llamó a los predicados “conceptos”, pero sin considerar la visión tradicional de los conceptos como algo mental y subjetivo. Los consideró funciones que asignan valores de verdad a los objetos. La función “Predicado(objeto)” es V (verdadera) si el objeto tiene ese predicado, y F (falsa) si no lo tiene. Esta simple idea abrió una puerta importante a la formalización de la semántica.
  
  Por ejemplo, en la expresión “Venus es un planeta”, el objeto es Venus y “ser un planeta” es el predicado. Se expresa como “Planeta(Venus)” y es V. Otro ejemplo es “Frege es alemán” se expresa como “Alemán(Frege)” y es V, y “Frege es español” se expresa como “Español(Frege)” y es F.
  
  
• Sentencias.
  Una sentencia tiene un sentido (expresa una idea o pensamiento) y su referencia es su valor de verdad. Hay una función que asigna a cada sentencia su valor de verdad). Dos sentencias pueden tener el mismo valor de verdad y no tener el mismo significado. Por ejemplo, 3+4 = 7 y 2+5 = 7 son ambas verdaderas (tienen la misma referencia, V), pero significan cosas distintas.

Los problemas del modelo de Frege son:

• Hay expresiones que tienen sentido pero no tienen referencia. Por ejemplo, “El actual Rey de Francia”, “El mayor número par”, “Don Quijote”.
  
  
• El sentido de una sentencia, su significado, no tiene nada que ver con su valor de verdad. Si el sentido de una sentencia es su valor de verdad, entonces todas las sentencias lógicas serían sinónimas, lo que no es cierto.
  
  No toda expresión tiene valor de verdad. Hay expresiones que no son proposiciones lógicas y que no tienen valor de verdad. Por ejemplo, la expresión algebraica a+b o la definición de una función como f(x) = x+5.
  
  
• Un mismo sentido puede tener varias referencias, según el contexto. Por ejemplo, la palabra “masa” puede tener un significado físico o culinario. Son palabras polisémicas.
  
  
• Puesto que en la referencia de una expresión también está presente la semántica, es posible preguntar, a su vez, por su sentido y su referencia. Y así sucesivamente, en un proceso recursivo.
  
  
• La referencia puede ser fija o variable con el tiempo. Por ejemplo, “El Rey de España” es variable porque necesita un contexto temporal. En cambio, “La solución positiva de la ecuación x²−4 = 0” es fija, no depende de ningún contexto.

Frege era un dualista semántico, pues la semántica está en todo: en el sentido y en la referencia. Frege intentó formalizar la semántica de las expresiones lingüísticas mediante funciones del tipo “sentido(expresión) = referencia”.


Contextos intensionales y extensionales

Frege llegó a la conclusión de que había que distinguir entre sentido y referencia de una expresión lingüística por el problema planteado por la sustitución de expresiones equivalentes (las que tienen el mismo significado). La expresión A = B, donde A y B son expresiones equivalentes, se debe entender como que las dos expresiones se refieren a un mismo objeto, pero con distinto sentido. Son dos sentidos con la misma referencia, dos formas de referirse a un mismo objeto. Según la concepción de Kant, la expresión A = B es sintética (aporta información), y la expresión A = A es analítica (no aporta información).

El principio de sustitución de Frege deriva del principio de composicionalidad y afirma lo siguiente: Si A es parte de C, B no es parte de C, y B significa lo mismo que A, la sustitución de A por B en C produce una expresión C' que tiene el mismo significado que C.

Si B forma parte de C, puede alterarse el significado. Por ejemplo, si en “Pedro sabe que Aristóteles fue el estudiante más prominente de Platón” sustituimos “Aristóteles” por “el discípulo más prominente de Platón”, la frase queda convertida en “Pedro sabe que el estudiante más prominente de Platón fue el estudiante más prominente de Platón”, que tiene un significado diferente del original.

Frege, al distinguir entre sentido y referencia, puso de manifiesto que hay contextos en los que no se puede sustituir una expresión por su equivalente porque se altera su significado. Hoy día se denominan contextos intensionales y extensionales. Un contexto extensional es aquel en el que la extensión (la referencia) es lo único que importa. Una expresión se puede sustituir por otra que designa la misma cosa. Por ejemplo, en la expresión matemática 1+4 = 2+3, los dos términos tienen diferente significado, pero son equivalentes e intercambiables en otra expresión dentro de un contexto extensional.

Un contexto intensional es aquel en el que no se puede sustituir una expresión por otra que designa la misma cosa porque se puede alterar su significado.

Contextos intensionales son: de modalidad, condicionales, de tiempo, de obligación, informacionales y cognitivos. En general, en las expresiones del tipo “Se sabe que …”, “Es necesario que …”, “Es posible que …”, “Se informa que …”, “Se dice que …”, “Se cree que …”, etc. son contextos intensionales y no se puede aplicar la sustitución de una expresión por otra porque se puede altera el significado.


Carnap: intensión y extensión

Carnap fue uno de los miembros más destacados del Círculo de Viena, un movimiento filosófico que pretendía fundamentar el conocimiento mediante el análisis lógico del lenguaje y un criterio para identificar enunciados verdaderos y significativos: la verificación experiencial del contenido expresado en los enunciados. Esta idea estaba inspirada en el Tractatus de Wittgenstein, según el cual los enunciados deben de reflejar hechos.

Carnap, en “Meaning and Necessity” [1956] observó que, bajo la concepción de Frege, podría haber sentidos de orden superior (sentido de sentido, etc.), con sus correspondientes referencias. Y que Frege no explicó claramente el concepto de “sentido”. Propuso sustituir los conceptos de “sentido” y “referencia” de Frege por los conceptos de “intensión” y “extensión”, respectivamente.

• En un lenguaje hay que distinguir entre gramática sintáctica (que especifica las combinaciones posibles) y la gramática lógica (que especifica las combinaciones admisibles, las que tiene sentido).
  
  
• La intensión de un enunciado es su significado. Para captar dicho significado es preciso realizar un análisis lógico-semántico. El análisis semántico se basa en la determinación de las categorías que intervienen en el enunciado.
  
  
• La intensión de un predicado es la propiedad representada por el predicado. La extensión de un predicado es el conjunto de objetos que tienen ese predicado. Si los predicados tienen la misma extensión, son equivalentes.
  
  
• La extensión de un enunciado es su valor de verdad. La determinación de la verdad hay que realizarla de forma empírica. Los enunciados equivalentes son los que tienen el mismo valor de verdad.
  
  
• Hay que distinguir entre verdades lógicas (analíticas y necesarias) de las verdades fácticas (sintéticas y contingentes). Las verdades lógicas solo hacen referencia al propio lenguaje.

Carnap introdujo el concepto de “descripción de estados” a un conjunto de sentencias atómicas, cada una con un valor de verdad. La intensión de una sentencia es un “rango”: el conjunto de todas las descripciones de estados que tienen el valor V (verdadero). Las extensiones son los estados (los valores de verdad).


La lógica intensional de Church

La lógica intensional de Church [1951] es un intento de axiomatizar los dos tipos de significado de Frege (el sentido y la referencia) mediante una lógica intensional de propósito general, considerando solo el comportamiento formal de la intensión, no su concepto. Church fue el creador de la lógica intensional. Denominó “denotación” a la “referencia” de Frege.

Church utilizó la notación Δ(s, d) para expresar la relación entre sentido (s) y denotación (d). Esta relación se suele denominar “presentación”. Con esta notación se puede expresar, por ejemplo, que el sentido determina la referencia (dos expresiones con el mismo sentido tienen la misma referencia):

Δ(s, d₁) & Δ(s, d₂) → d₁ = d₂.

Pero esta notación no es la más adecuada porque hay expresiones con sentido que no tienen referencia. Realmente, como el sentido determina la referencia, se podría utilizar la notación Δ(s) = d, donde d podía ser la expresión vacía.

Church también adoptó el principio de composicionalidad de Frege: el sentido y denotación de una expresión compuesta es una función del sentido y denotación de sus componentes y de su combinatoria.

La lógica intensional de Church es muy compleja porque incluye una teoría de tipos desarrollada por él en 1940 [Church, 1940]. La teoría de tipos de Church se basa en dos categorías básicas: 1) la categoría (ι) de los términos individuales; 2) la categoría (o) de los valores de verdad de las sentencias. Adicionalmente, hay una tercera categoría (αβ) que son funciones entre dos categorías básicas del lenguaje: de expresiones tipo α a las expresiones de tipo β. Por ejemplo, (oo), (oι), (o(oι)), etc.

• Las fórmulas se entienden como términos que tienen valores de verdad.
• Los predicados se formalizan como funciones de individuos a valores de verdad, como hizo Frege.
• Un individuo, valor de verdad o función tienen sentido (”concepto”, en la terminología de Church).

La semántica de Montague

Richard Montague, en los años 1970s, amplió y formalizó las ideas de Carnap. La semántica de Montague es una teoría de la semántica del lenguaje natural (el inglés) y su relación con la sintaxis. Montague trató las intensiones como funciones, como Carnap.

Según Montague, el estudio del lenguaje natural pertenece a la matemática y no a la psicología. Su sistema lo presentó como una “gramática universal”. La gramática de Montague es un sistema formal para describir el lenguaje natural mediante una combinación de varias teorías, entre ellas la lógica intensional:

• Los lenguajes naturales son formalizables porque tienen el mismo fundamento lógico-matemático que los lenguajes artificiales.
  
  
• El propósito de la semántica es caracterizar la noción de sentencia verdadera (bajo una interpretación determinada), en lugar de la noción de “significado”.
  
  
• La intensión de una sentencia es una función del contexto y devuelve la extensión de la expresión en ese contexto (su valor de verdad). La extensión de un nombre es el objeto al que hace referencia el nombre.
  
  
• Existe una estrecha relación entre sintaxis y semántica. En esta relación se utiliza el principio de composicionalidad: el significado de una sentencia es una función de los significados de sus componentes y de sus formas combinatorias. Cada regla sintáctica de composición está acompañada de una regla semántica.

Los tipos de entidades que utilizó Montague fueron solo dos: los objetos y los valores de verdad. Estos tipos podían combinarse para crear tipos de orden superior.

En la lógica intensional de Montague, para toda expresión lingüística α hay otra expresión ^α que denota la intensión de α. El operador prefijo (^) es recursivo, es decir, pueden expresarse intensiones de orden superior: ^^α, ^^^α, etc. Montague introdujo el operador contrario (^v), de tal forma que ^v^α = α. Este segundo operador puede aplicarse a cualquier expresión lingüística que denote una intensión para obtener la correspondiente expresión.

Tras la revolución chomskiana de la formalización matemática de la sintaxis, el enfoque de Montague fue también revolucionario al aplicar métodos matemáticos a la semántica y su relación con la sintaxis. Pero la teoría original de Montague era muy compleja y ha sido posteriormente modificada y ampliada por lingüistas, lógicos y filósofos.


Semántica de los mundos posibles

La semántica de los mundos posibles (SMP) es una familia de métodos que se usan para modelar una gran variedad de contextos intensionales. La SMP fue una idea genérica o universal que impulsó el desarrollo de numerosos campos: lingüística (semántica de los lenguajes naturales), filosofía, lógica (lógica intensional), informática e inteligencia artificial. Sentido y referencia en la SMP:

• El sentido de una expresión lingüística es el mismo en todos los mundos posibles. Por ejemplo, “el hombre más rico del mundo” tiene el mismo sentido en todos los mundos posibles, pero distinta referencia en cada mundo posible.
  
  
• El sentido de una expresión (nombre, predicado o sentencia) no determina su referencia, sino que depende también del mundo posible.

Según Carnap, un mundo posible es un conjunto de estados y combinaciones de estados, donde una descripción completa de estados describe un mundo posible. “Descripción completa” quiere decir que se conoce que para todo predicado y para cada objeto si se cumple o no la relación objeto-predicado. Un mundo posible es un mundo consistente, es decir, que puede describirse sin contradicción.

Según Wittgenstein, un mundo posible es un conjunto de hechos posibles. El mundo no es un conjunto de objetos, sino de hechos. De esta forma relacionó lenguaje y mundo. A través del lenguaje concebimos el mundo como es, como no es y como podría ser. Los límites de lo posible está determinado por el lenguaje.

Aunque el concepto de “mundo posible” ha formado parte de la terminología filosófica desde Leibniz, la lógica modal ha sido la gran impulsora de la SMP.

En los años 1960s, Saul Kripke presentó el primer modelo formal basado en la SMP para la lógica modal:

• Un enunciado es necesario si es verdadero en todos los mundos posibles.
• Un enunciado es posible si es verdadero en algún mundo posible.
• Un designador rígido es un nombre que designa a la misma entidad en todo mundo posible donde exista esa entidad.

Por ejemplo, la expresión 3+4 = 7 es verdadera en todos los mundos posibles (no depende del contexto). En cambio, la sentencia “El número de planetas es 8” no es verdadera en todos los mundos posibles.


Lógica Intensional

Hay que diferenciar entre lógica extensional y lógica intensional:

• En una lógica extensional se considera solo el valor de verdad de las expresiones lógicas. Una expresión tiene un valor de verdad que está determinado por los valores de verdad de sus componentes. El contexto es extensional y rige el principio de sustitución de extensiones: si dos expresiones tienen el mismo valor de verdad, entonces una expresión puede ser sustituida por la otra en una tercera expresión sin alterar su valor de verdad.
  
  
• En una lógica intensional se considera el significado de las expresiones. El contexto es intensional. El significado de una expresión está determinado por el significado de sus componentes. Y no rige el principio de sustitución de una expresión por otra en una tercera expresión porque puede alterarse el significado de esta última expresión.
  
  El significado de una expresión intensional depende del contexto que se considere. El valor de la expresión intensional en un contexto particular es la extensión de la expresión intensional en ese contexto particular.

En la lógica clásica, una sentencia es verdadera o falsa. En la lógica intensional una sentencia es ambigua cuando no se especifica el contexto, por lo que no es ni verdadera ni falsa.

Las sentencias de la lógica clásica son superficiales, analíticas y racionales; son extensionales y tienen un valor de verdad. Las sentencias de la lógica intensional son profundas, sintéticas e intuitivas; son intensionales y no se les puede asignar un valor de verdad. Corresponden a los dos modos de conciencia.

La lógica intensional es una extensión de la lógica matemática que permite describir formalmente entidades cuyo significado depende del contexto. En general se habla de “expresiones indexicales”, que hacen referencia a un cierto estado de cosas en un cierto contexto.

La lógica clásica (proposicional y la de primer orden) es extensional y la intensión no juega ningún papel. La lógica intensional es la extensión más importante de la lógica clásica. Se puede considerar que la lógica clásica es un caso particular de la lógica intensional.

En la lógica de predicados de primer orden los cuantificadores afectan a los elementos. En la lógica intensional, los cuantificadores afectan adicionalmente a los valores de las propiedades de esos elementos.

Las aplicaciones de la lógica intensional son principalmente el análisis semántico de los lenguajes naturales y el análisis de problemas filosóficos.

Ejemplos de lógicas intensionales son:

• La lógica modal, la lógica de la necesidad y la posibilidad.
  
  
• La lógica temporal, donde el contexto intensional es el tiempo.
  
  
• La lógica de la relevancia, la lógica que captura ciertos aspectos de la implicación que son ignorados por el operador de condición de la lógica clásica.

La lógica intensional viola principios de la lógica clásica, principalmente la ley de sustitución de identidades:

Si a = b y P(a), entonces puede ser que no se cumpla P(b)

Por ejemplo, si tenemos las expresiones “2+6 = 4+4” y “Pedro calcula 2+6”, entonces esta última expresión no es equivalente a “Pedro calcula 4+4”. En lógica clásica cada expresión tiene una interpretación extensional, con un valor de verdad fijo. La lógica de los “mundos posibles” es una lógica intensional donde los valores de verdad de las expresiones varían en cada mundo posible.

La intensión de una expresión A en un mundo posible M es la extensión de A en ese mundo M: Intensión(A, M) = Extensión. Dos expresiones A₁ y A₂ tienen la misma intensión si tienen las mismas extensiones en todos los mundos posibles. La intensión de un nombre N en un mundo posible M es el objeto que denota en ese mundo: Intensión(N, M) = objeto.

Los orígenes de la lógica intensional proceden de la investigación del lenguaje natural, en el que una sentencia tiene un significado diferente según el contexto. Muchas sentencias del lenguaje natural son ambiguas, es decir, que pueden interpretarse de manera diferente en función del contexto en el que se utilizan. Esto ha hecho creer a muchos científicos que los lenguajes naturales no se pueden formalizar desde un punto de vista matemático.

Por ejemplo, la sentencia “Madrid es la capital de España” es verdadera actualmente, pero antiguamente (antes de 1561) era falsa. Es decir, su valor de verdad es función del contexto tiempo. También podemos considerar sentencias que dependen de varios contextos (como tiempo, lugar, audiencia, etc.). Por ejemplo, la sentencia “El valor de la temperatura” depende de tres contextos: el lugar, el día y la hora. Los contextos se denominan “dimensiones” o “mundos posibles”.

La dependencia del contexto de los lenguajes naturales se debe a razones prácticas. Cuando hablamos hay un contexto implícito, lo que evita el tener que expresarlo en cada momento.

Otra característica de los lenguajes naturales es que hay operadores que cambian el contexto, como “ayer”, “mañana”, “norte”, “siguiente”, etc. Decimos, por ejemplo, “la temperatura de ayer”, “el norte de España”, etc.


Programación intensional y multidimensional

La programación intensional es una programación basada en la lógica intensional. Sus características principales son:

• La evaluación (o computación) de una expresión depende del contexto (dimensión o mundo posible) que se considere. El contexto varía a lo largo del tiempo y está representado en cada momento por un valor. El modelo estándar para la programación intensional se denomina “educción” (eduction) [Wadge y otros, 1985], un modelo abstracto basado en la evaluación de expresiones respecto al contexto que se considere.
  
  
• El contexto se puede modificar mediante operadores intensionales. A partir de estos operadores se pueden definir operadores de orden superior.
  
  
• Las entidades y los contextos tienen infinitos valores. Se denominan “streams” y son series de datos que se van generando sucesivamente a medida que fluye el tiempo. Los streams se pueden manipular como si fueran valores ordinarios. Se pueden sumar, multiplicar, aplicar if-then-else, etc.
  
  
• La programación es básicamente declarativa, pero puede también incluir características imperativas. A nivel declarativo evita tener que usar un índice para hacer referencia a un elemento de una secuencia.

La programación intensional permite formalizar los aspectos dinámicos de ciertos sistemas que son dependientes de contextos que cambian con el tiempo, como los fenómenos físicos que dependen de uno o más parámetros (tiempo, espacio, temperatura, etc.). Por ejemplo, tenemos una barra de hiero a la que aplicamos una fuente de calor en uno de sus extremos. La temperatura en cada punto de la barra es función de la posición (distancia respecto a uno de sus extremos) y del tiempo.

Aplicaciones de la programación intensional son: programación interactiva, sistemas de tiempo real, hojas de cálculo multidimensionales, gramáticas de atributos, sistemas de bases de datos multidimensionales, programación paralela, programación adaptativa, proceso de señales, proceso de imágenes, etc.

Lucid [Wadge y otros, 1985] fue el primer lenguaje de programación intensional. Fue creado en 1974. Sus características principales son:

• Está orientado a programación declarativa con streams (flujos de datos). Las entidades “fluyen” (cambian sus valores) a medida que fluye el tiempo.
  
  
• Una variable intensional es un stream que se define mediante sus primeros elementos y las reglas para crear los siguientes elementos a partir de los anteriores. Los operadores básicos son: "first" (pone el tiempo t a cero), "next" (tiempo siguiente, t+1) y "fby" (followed by, expresión del elmento siguiente). Por ejemplo:
  
  
  • La sentencia n = 0 fby n + 1; define la entidad n (los números naturales) como el flujo de datos (0, 1, 2, ...).
    
    
  • La sentencia f = 0 fby 1 fby f + next f; define la secuencia de Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …), donde cada elemento es la suma de los dos anteriores.
  
  En estos ejemplos las funciones definidas no tienen argumentos y denotan secuencias infinitas de valores sobre la dimensión tiempo. Tampoco hay índices de tiempo, están implícitos.
  
  
• Se pueden definir funciones intensionales que operan sobre streams y que retornan streams como resultados. Pueden definirse también funciones compuestas (de orden superior).
  
  
• Difiere de los lenguajes de programación imperativos en que no utiliza el operador de asignación para cambiar los valores de las variables.

La nueva versión de Lucid es GLU (Granular Lucid) [Ashcroft y otros, 1995]:

• Es un lenguaje de programación multidimensional. Soporta entidades multidimensionales. Cada entidad multidimensional tiene un identificador (nombre de contexto o dimensión) y un stream asociado.
  
  En el lenguaje Lucid original, la única dimensión existente era el tiempo. GLU permite al usuario especificar sus propias dimensiones, las adecuadas al problema o al sistema a modelar.
  
  
• Los operadores y las funciones intensionales pueden ser parametrizados para que se pueda especificar la dimensión.
  
  
• Permite programación declarativa e imperativa. El núcleo declarativo es de Lucid. Así que GLU es una extensión procedural de Lucid.
  
  
• Es un lenguaje funcional-intensional. Permite definir funciones declarativas (sin índices) y funciones recursivas (con índices). Las funciones definidas por el usuario actúan sobre entidades multidimensionales y pueden retornar entidades multidimensionales como resultado.

Por ejemplo, si tenemos una variable x que varia en la dimensión t según los índices o puntos (0, 1, 2, ...), por ejemplo, (3, 5, 1, 6, ...) y queremos las sumas acumuladas (3, 8, 9, 15, ...), se expresa mediante

s = x fby.t next.t x + s

que indica: s es el valor inicial de x seguido (en la dimensión t) por el siguiente valor de x (en la dimensión t) más el valor actual de s. Esta es una expresión intensional que sirve para describir todas las sumas acumuladas de x a lo largo de la dimensión t. Los contextos son los puntos o índices, en dimensión t, de los inputs (para x) y de los resultados (para s).

Generalizando para cualquier dimensión d, se define la llamada “función abstracta dimensional” (f.a.d.), una función que tiene la dimensión como un parámetro adicional.

suma.d(x) = s where
  s = x fby.d next.d x + s;
end;

Esta función se puede aplicar a cualquier dimensión, por ejemplo, suma.a(e), en donde a es una dimensión concreta y e es una variable que varía en la dimensión a.

También existen:

• Variables abstractas multidimensionales. Son variables que varían según la dimensión que se especifique..
  
  
• Constantes abstractas dimensionales. Corresponden a las operaciones nularias (sin argumentos). Por ejemplo, la constante 1 denota una secuencia de infinitos elementos iguales: (1, 1, …).

La Lógica Intensional en MENTAL
Sentido, referencia y significado

Frege no llegó a definir claramente el “sentido”. La única formulación que hizo de este concepto fue “modo de expresar o presentar el significado”, que es demasiado vaga para constituir una definición. También existe una gran confusión respecto al concepto de “significado” de una expresión lingüística en relación con el sentido y la referencia. He aquí algunas opiniones:

• El significado es el sentido.
• El significado es la referencia.
• El significado es doble y está en el sentido y en la referencia (dualismo semántico).
• El significado es la relación o conexión entre el sentido y la referencia.
• El significado es prelingüístico y no tiene relación ni con el sentido ni con la referencia.

El concepto de “referencia” es también ambiguo, pues surgen dudas, por ejemplo, ¿la referencia puede ser también una expresión o está relacionada solo con el mundo empírico? Y también existe cierta confusión entre “referencia” y “denotación”. Según algunos autores, son conceptos distintos:

• La denotación es más general que la referencia. La denotación es la referencia general, independientemente de los mundos posibles.
  
  
• La referencia es la denotación para un mundo posible concreto. Así que, según esta visión, el sentido no determina la referencia, pues depende del mundo posible que se considere.

El principio de causalidad descendente aclara estos conceptos y la relación entre sentido y referencia de una expresión lingüística. En efecto, una expresión lingüística tiene tres aspectos:

1. Su significado, que es subjetivo, mental.
2. Su representación, que puede ser oral o escrita, que es objetiva.
3. Su denotación, que es la cosa designada, que puede ser a su vez otra expresión.

La representación conecta significado (lo superior) y denotación (lo inferior).

Por otra parte, el significado se ha tratado de formalizar matemáticamente mediante una función entre expresión lingüística y referencia. Y las referencia como solo dos tipos posibles de valores: objetos (denotados por nombres) y valores de verdad.

Pero el significado (o semántica) de una expresión lingüística no se puede formalizar por su carácter profundo. La única manera de formalizar el significado es mediante los arquetipos de la conciencia, que están presentes en todo: en el sentido, en la referencia y en la representación de cada expresión; en el mundo interno y en el externo. La conciencia lo conecta todo.

El significado es mental, subjetivo, por lo que no es formalizable. Pero paradójicamente se puede formalizar con algo más profundo que la mente y que no es subjetivo porque es universal: la conciencia. El significado es una entidad prelingüística y se fundamenta en la conciencia. La formalización de la semántica va más allá de la matemática. Se basa en los arquetipos de la conciencia.

Frente a las complejos y antinaturales intentos de formalización del significado de las expresiones lingüísticas por parte de autores como Frege, Carnap, Church y Montague, la formalización con MENTAL es la más simple posible y la más poderosa.


Sentido y referencia

En MENTAL se distingue claramente entre los conceptos de sentido y referencia:

• El sentido de una expresión es el contenido semántico de la expresión, reflejado en en las primitivas semánticas utilizadas.
  
  
• La referencia es el resultado de la evaluación de dicha expresión o las expresiones descritas por esta expresión.

El “sentido”, definido por Frege como “forma de expresar el significado”, en MENTAL sustituimos “forma” por “estructura”, la estructura basada en las primitivas que constituyen una gramática universal.

• La referencia de una expresión puede ser la propia expresión si dicha expresión se autoevalúa. Por ejemplo, la referencia de un nombre es la expresión designada por ese nombre, o el propio nombre si no designa a ninguna expresión (el nombre se autoevalúa).
  
  
• La evaluación de una expresión es, en general, un proceso recursivo, donde puede haber varios pasos de evaluación.
  
  
• La referencia de una expresión lógica o de una relación es su evaluación, que es su valor de verdad.
  
  
• Toda expresión bien formada tiene sentido y referencia. Pueden ser incluso expresiones imaginarias como (i^2 = −1), cuyo sentido y referencia es la propia expresión.

No basta con considerar nombres y valores de verdad para expresar la semántica de una expresión lingüística. Hay que especificar su estructura. MENTAL es un lenguaje universal y una gramática universal que permite expresar la estructura profunda de las sentencias. Montague intentó crear una gramática universal, pero creó una teoría muy compleja. En cambio, MENTAL es muy simple y permite reflejar esa estructura de manera clara y trasparente. En esa estructura se une sintaxis y semántica, son dos aspectos de una misma cosa.


Expresiones intensionales y extensionales

En MENTAL, las expresiones intensionales y extensionales se definen de la siguiente manera:

• Una expresión intensional es una expresión descriptiva que hace referencia a una o varias expresiones, que pueden ser a su vez descriptivas.
  
  
• Una expresión extensional es la que hace referencia a sí misma, es decir, se autoevalúa.

La intensión está asociada con lo genérico y la pluralidad de entidades (la extensión). Lo intensivo es lo descriptivo. Lo extensivo son expresiones concretas. La intensión es lo sintético y comprimido. La extensión es lo analítico y expandido. Son los dos modos de conciencia.

Los conceptos se pueden considerar entidades mentales que se manifiestan como expresiones genéricas. Según Pavel Materna [2014], los conceptos son objetos hiperintensionales.

Una expresión intensional es genérica y se puede “manifestar” a nivel superficial como una sentencia extensional en un contexto determinado. Por ejemplo, la sentencia “Llueve” es intensional porque no se ha especificado el contexto: ni el lugar ni el tiempo (el momento). Esto se puede expresar en MENTAL como una expresión genérica con dos parámetros:

⟨( llueve/(lugar/x tiempo/y) )⟩

Una expresión particular se obtendría al dar valores a los parámetros.

• Hay expresiones genéricas que no son ni verdaderas ni falsas. Por ejemplo, la función ⟨( f(x) = x+5 )⟩.
  
  
• Hay expresiones que son verdaderas en función de los axiomas del lenguaje. Por ejemplo, ⟨( x+y ≡ y+x )⟩.
  
  
• Hay expresiones que son verdaderas en virtud de su definición. Por ejemplo, ⟨( x/hombre → x/mortal )⟩.

Lógica intensional

La lógica intensional es la lógica que trata con intensiones. Pero como no se ha definido exactamente qué es la intensión y su relación con el significado, no se ha formalizado de forma completa y consistente debido a la falta de fundamentos sólidos y claros, no solo lógicos, sino en las otras dimensiones profundas de la realidad.

Pero la lógica intensional se puede formalizar con MENTAL gracias a las expresiones genéricas (parametrizadas o no), que permiten describir varias o infinitas expresiones, junto con el resto de las primitivas semánticas.

• Expresiones lógicas intensionales.
  Son expresiones genéricas en las que interviene la primitiva “Condición”. Ejemplos:
  
  
  1. La expresión genérica parametrizada
     {⟨( n ← n>5 )⟩}
     describe los infinitos números naturales mayores que 5.
     
     
  2. La expresión genérica no parametrizada
     ⟨( n>5 → (n = 5) )⟩
     representa a infinitas expresiones:
     
     ( n=6 → (n = 5) )
( n=7 → (n = 5) )
( n=8 → (n = 5) )
     ...
  
  
• Cuantificadores.
  Se unifican los cuantificadores tradicionales de la lógica de predicados de primer orden (los que afectan a los elementos individuales) y a los cuantificadores que afectan a los valores de las propiedades de esos elementos. Ambos se especifican mediante parámetros en expresiones genéricas.
  
  
• Mundos posibles.
  En MENTAL los mundos posibles están implícitos. Los mundos posibles son las posibles interpretaciones de los nombres de las expresiones. En cambio, los operadores de las primitivas semánticas universales no tienen nada más que una interpretación, su significado es absoluto. MENTAL es la Carta Magna de los mundos posibles e imaginarios. Los límites de lo posible están determinados por el lenguaje.
  
  
• Verdades lógicas.
  Los axiomas y los teoremas de MENTAL son equivalentes a las verdades lógicas de Carnap. Son independientes de los contenidos (valores) de los nombres (parámetros).

Programación intensional

Uno de los problemas de los lenguajes de programación es la dicotomía entre lenguajes intensionales (declarativos) y extensionales (imperativos). En MENTAL, como lenguaje operativo, descriptivo y declarativo (con una fundamentación común), podemos describir expresiones infinitas, por ejemplo, secuencias infinitas. Una de las formas es utilizar el operador de sustitución potencial (=:), en lugar de la sustitución inmediata (=). Ejemplos:

1. Secuencia de números naturales:
   
   (n := ( 1 )) // valor inicial
(n =: (n ∪ (n\(n#) + 1)
   
   Más abreviadamente, (n = ( 1… ))
   
   
2. Secuencia de Fibonacci.
   
   (f = (0 1)) // valor inicial
(f =: (f ∪ ( f\(f#) + f\(f# - 1))))

Programación multidimensional

La programación multidimensional es un caso particular de la programación intensional cuando los contextos son dimensiones, es decir, cuando hay elementos que varían según diferentes dimensiones.

Ejemplos:

1. Sumas acumuladas (de orden n) de una secuencia:
   
   
   • De forma operativa y recursiva.
     
     ⟨( suma(x n) = (0 ← n=0 →' (suma(x n−1) + x\n) )⟩
     
     
   • De forma descriptiva.
     
     ⟨( suma(x n) = (x\1 + … + x\n) )⟩
   
   
2. Una variable multidimensional que varia según las dimensiones a y b se puede especificar de forma extensiva. Por ejemplo:
   
   
   x/(a=0 b=0) = 1
x/(a=0 b=1) = 3
   ...
   
   Sumas acumuladas (de orden n) a lo largo de la dimensión , para el contexto a=k:
   
   (x/{a=k b=1} + x/{a=k b=2} + … +x/{a=k b=n}) eq.
([x/(a=k b=[1…n]])
   
   Esta expresión se puede parametrizar para crear una función abstracta dimensional, donde la dimensión es un parámetro más.

Conclusiones

En definitiva, con MENTAL, como lenguaje universal, permite formalizar sentido y referencia de las expresiones lingüísticas mediante los arquetipos de la conciencia. Y permite implementar la lógica intensional, la programación intensional y la programación multidimensional.

De acuerdo con el principio de generalización, los conceptos de “sentido” y “referencia”, así como los conceptos de “intensión” y “extensión” tienen que ser generales, es decir, aplicarse no solo a la lógica.

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Adenda
Teorías sobre el significado

Los conceptos de sentido y referencia de Frege han sido fundamentales en la filosofía del lenguaje y han sido el origen de las investigaciones y reflexiones sobre la cuestión del significado. Frege es considerado el padre de la filosofía analítica del lenguaje y de la semántica filosófica.

Existen diferentes teorías sobre el significado de una expresión lingüística:

• Según el conceptualismo (o mentalismo), el significado de una expresión lingüística es el contenido mental correspondiente.
  
  
• Según la TRS (Teoría Referencial del Significado), el significado es la referencia.
  
  
• Según la TCS (Teoría Correspondentista del Significado), el significado es una relación entre expresiones de un lenguaje y entidades que son independientes del lenguaje.
  
  
• Según el conductismo, el significado de una expresión lingüística es la respuesta producida por dicha expresión cuando se percibe como estímulo.
  
  
• Según el internalismo (o semántica internalista) cuyo principal representante es Chomsky [2000]: Las expresiones no tienen relación con los objetos del mundo. Las sentencias no son verdaderas ni falsas. Los nombres son arbitrarios y hacen referencia a expresiones.

Y según autores:

• Para Platón, el significado de una palabra es lo que designa esa palabra. La palabra es como una etiqueta asignada al objeto.
  
  
• Para Saussure, el significado es el concepto o contenido del signo lingüístico.
  
  
• Para Paul Grice, la correspondencia entre expresión lingüística y entidad designada es solo un aspecto del significado. Hay que tener en cuenta la “intención” del hablante al emplear una expresión.
  
  
• Max J. Cresswell [1982] define el significado en sentido negativo. “Si una sentencia A es verdadera y B es falsa, entonces A y B no significan lo mismo”.
  
  
• David Lewis [1972]: “Para decir lo que es significado, debemos preguntar primero lo que hace el significado y luego buscar algo que haga eso”.
  
  
• Para Russell, el significado de una expresión consiste exclusivamente en referencia a una entidad. Significar es referenciar. Russell era referencialista. Según la teoría del atomismo lógico de Russell, el mundo consta de hechos atómicos que son los referentes de enunciados atómicos.
  
  
• Según la teoría del lenguaje del primer Wittgenstein (el del Tractatus), existe un isomorfismo entre un hecho y una proposición. Una proposición es una representación (o figura) de un hecho. Las proposiciones solo deben reflejar hechos; si no es así, carecen de sentido. La guía para comprender el mundo reside en la lógica.
  
  
• Según el segundo Wittgenstein (el de Investigaciones Filosóficas), el significado de una expresión lingüística es su uso.
  
  
• Según la teoría verificacionista del significado, la teoría neopositivista del Círculo de Viena, todo enunciado verdadero debe poder ser verificado por la experiencia.
  
  
• Según Donald Davidson, en su nivel más básico, los significados de las palabras y las frases se derivan de la percepción e interacción con los objetos del mundo físico.
  
  
• Quine [1960] rechazó el concepto de “significado” y realizó una crítica de la lógica intensional. Sus argumentos eran:
  
  
  • Los significados de las entidades y expresiones del lenguaje natural son difusos, sin fronteras claras entre ellas. En cambio, los individuos, los valores de verdad y los conjuntos de individuos, que subyacen en la lógica extensional, son los verdaderos objetos.
    
    
  • No existe un concepto riguroso de intensión, por lo que las intensiones no pueden ser incluidas en una ciencia rigurosa como la lógica.
    
    
  • Es un tema oscuro determinar si dos sentencias del lenguaje natural tienen o no la misma intensión.
    
    
  • La semántica debe sustituirse por la pragmática. El significado de una expresión lingüística es su uso, como decía el segundo Wittgenstein.
  
  
• Hilary Putnam era partidario del externalismo. En “The Meaning of Meaning” [1975] afirma que el significado se deriva fundamentalmente del mundo externo a partir de lo que denomina “clases naturales” (natural kinds). Mediante un experimento mental llamado “la Tierra gemela”, argumenta que las clases naturales tienen una estructura oculta. Puede haber un mundo donde la fórmula del agua es H₂O y en otro sea XYZ. Por lo tanto, el significado depende del mundo externo y no es solo mental. El significado solo mental no determina la referencia. El significado no es algo absoluto, sino dependiente del mundo posible.

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